СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

г р у п п G_i, ,- группа G, порожденная группами G_i, причем любые гомоморфизмы групп G_i в любую группу Нпродолжаются до гомоморфизма

Для обозначения С. п. используется знак *, напр.:

в случае конечного множества I. Каждый не равный единице элемент С. п. G единственным образом выражается в виде несократимого слова , где , и при любом j=1,2, .. ., n-1, . Конструкция С. п. является важной в изучении групп, заданных множеством порождающих элементов и определяющих соотношений. В этих терминах оно может быть определено следующим образом. Пусть каждая группа G_i задана множествами X_i- порождающих и Ф _i определяющих соотношений, причем , если . Тогда группа G,заданная множеством порождающих и множеством Ф определяющих соотношений, будет С. п. групп .

Всякая подгруппа С. п. Gсама разлагается в С. п. своих подгрупп, из к-рых нек-рые являются бесконечными циклическими, а каждая из других сопряжена с нек-рой подгруппой какой-либо группы G_i, входящей в свободное разложение группы G(теорема К у р о ш а).

Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] М а г н у с В., К а р р а с А., С о л и т э р Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974.

А. Л. Шмелъкин.